Séminaire de Mathématiques et Colloquium
Conférence à venir :
Jeudi 19 décembre à 14h
Guillaume Bal
(University of Chicago, USA)
Topological insulators and robust edge transport.
Surprising asymmetric transport phenomena along interfaces separating insulating bulks have been observed in many areas of applied sciences, e.g., electronics, photonics, and geophysics. Such transport displays strong robustness to perturbations as an obstruction to Anderson localization. In fact, it affords a topological origin: systems in the same topological class display similar robust, quantized, interface transport.
This talk considers systems modeled by elliptic partial differential operators on the Euclidean plane. We introduce a simple topological classification by means of confining domain walls, which provides an explicit computation of a topological invariant, technically the index of a Fredholm operator. We next define a physical observable that allows us to quantify the asymmetry of the edge transport. The evaluation of such an observable is challenging in practice. We finally present a bulk-edge correspondence, a pillar of topological phases of matter in the physics literature, stating that the interface current observable is in fact equal to the aforementioned simple topological invariant.
The theoretical findings are illustrated with examples ranging from electronics applications to geophysical fluid flows.
Prochains exposés :
Surprising asymmetric transport phenomena along interfaces separating insulating bulks have been observed in many areas of applied sciences, e.g., electronics, photonics, and geophysics. Such transport displays strong robustness to perturbations as an obstruction to Anderson localization. In fact, it affords a topological origin: systems in the same topological class display similar robust, quantized, interface transport.
This talk considers systems modeled by elliptic partial differential operators on the Euclidean plane. We introduce a simple topological classification by means of confining domain walls, which provides an explicit computation of a topological invariant, technically the index of a Fredholm operator. We next define a physical observable that allows us to quantify the asymmetry of the edge transport. The evaluation of such an observable is challenging in practice. We finally present a bulk-edge correspondence, a pillar of topological phases of matter in the physics literature, stating that the interface current observable is in fact equal to the aforementioned simple topological invariant.
The theoretical findings are illustrated with examples ranging from electronics applications to geophysical fluid flows.
Conférences passées :
Poisson geometry lies in the intersection of symplectic geometry, foliation theory and Lie theory. As in each of these areas compactness hypotheses yield a wealth of results, it would be desirable to have a notion of compactness in Poisson geometry that simultaneously subsumes the theory of compact semisimple compact Lie groups and compact symplectic manifolds. This goal has been recently achieved by Crainic, Fernandes and Martinez-Torres, who defined a Poisson manifold of compact type (PMCTs) to be a Poisson manifold whose integrating symplectic groupoid is proper. The wonderful properties of these PMCTs lie in contrast to their relative scarcity. The geometric and topological constraints that go into building a PMCT make their definition rather demanding, and in so, constructing a PMCT beyond the trivial case of a compact symplectic manifold with finite fundamental group has proven a challenging problem. In this talk, after properly explaining the elements that go into play, we explain how allowing for other geometric structures to “integrate” Poisson manifolds, one can get more examples while preserving most of the compactness properties.
Besides many other activities and almost 130 years ago, Hermann Minkowski laid the foundations of two mathematical fields: convexity and finite dimensional Banach space theory (the second also called the theory of normed linear spaces, or Minkowski geometry). After that, especially the latter area experienced a stormy development mainly in analysis, and therefore many natural geometric problems were not investigated within that framework. E.g., there are many interesting problems in finite dimensional Banach spaces that were for the first time only touched in modern computational geometry. In this talk, some examples from the elementary geometry in normed linear spaces will be presented, followed by typical problems from convexity, in the classical sense as well as extended to Banach spaces. This second part of the talk will mainly refer to bodies of constant width and reduced bodies. Also historical background informations will be given, such as the related origins of further mathematical disciplines.
After some motivation and discussing how they appear naturally through the lens of (noncommutative) geometry, we will discuss Smith algebras and their representations. In particular, we will discuss representations which are free of finite rank over a subalgebra which plays a role analogous to that of a Cartan subalgebra. In the case of rank 1, we obtain a full description of the isomorphism classes, a simplicity criterion, and a combinatorial algorithm to produce all composition series and the multiplicities of the simple factors. This is joint work with V. Futorny (SUSTech, China) and E. Mendonça (Lyon, France & USP, Brasil).
I will talk about some recent results from two papers with Alexander Olshanskii. The first deals with the generalization of the theory of correspondences between nilpotent Lie algebras and torsion-free nilpotent groups, due to Malcev, to the case of general nilpotent algebras and quasigroups. In the second we explore the automorphism groups and derivation Lie algebras of nilpotent algebras and determine how these look like for the generic algebras.
Les cladogrammes sont des arbres binaires donnant les liens de parenté dans une population. Pour étudier la diffusion d’Aldous, qui est la limite infinie d’une chaı̂ne de Markov sur les cladogrammes, W. Löhr et A. Winter ont introduit la notion d’arbre algébrique. Cette manière de définir un arbre repose sur l’existence du point d’embranchement de tout triplet de points dans un arbre. En y ajoutant une mesure de probabilité, on permet l’échantillonage de sommets, c’est-à-dire d’individus. On peut alors munir l’espace des arbres algébriques binaires mesurés d’une topologie compacte. Après avoir présenté les arbres algébriques, je donnerai des extensions de ces résultats, établies durant ma thèse. La première concerne la chaı̂ne alpha de Ford, une famille de processus de Markov dont un cas particulier est la chaı̂ne d’Aldous. Dans la deuxième extension, les arbres algébriques sont équipés d’une mesure de probabilité sur l’ensemble des mesures de probabilité, pour étudier des systèmes à deux niveaux d’échantillonage.
In this talk, we will first introduce the problem of quantization of Lie bialgebras posed by V. Drinfeld in 1992. We then exhibit the solution given by P. Ševera in 2016, based on the notion of M-adapted functor.
On s’intéresse ici à l’équation de Schrödinger non linéaire bidimensionnelle avec un terme de défaut matérialisant la présence d’une ligne d’impuretés dans le milieu considéré. On donnera des résultats d’existence et des conditions suffisantes d’explosion en temps fini à l’aide de techniques classiques de type Viriel. Enfin, des simulations numériques illustreront le comportement qualitatif des solutions et montreront que dans certains cas, la présence du défaut peut empêcher l’explosion en temps fini observée en l’absence de défaut. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Emna Hamraoui (Amiens) et Olivier Goubet (Lille).
Les concepts d’algèbres dendriformes, respectivement tridendriformes décrivent l’action de certains éléments du groupe symétrique appelés les battages et respectivement les battages contractants sur l’ensemble des mots dont les lettres sont des éléments d’un alphabet, respectivement d’un monoïde. Un lien entre les algèbres dendriformes et tridendriformes sera donné.
Ces algèbres de mots satisfont certains axiomes mais elles ne sont pas dites libres. Cela signifie qu’elles vérifient des propriétés supplémentaires comme la commutativité. Dans cet exposé, nous allons décrire l’algèbre tridendriforme libre. Cette dernière sera décrite par des arbres planaires (pas forcément binaires), dits arbres de Schröder. Nous décrirons la structure d’algèbre tridendriforme sur ces arbres de manière non-récursive avant de construire un coproduit sur celle-ci qui en fera une bigèbre dite (3,2)-dendriforme graduée par le nombre de feuilles.
Une fois ceci établi, nous étudierons cette algèbre de Hopf: dualité, quotients, dimensions, étude des primitifs…
Ce séminaire s’inscrit dans la série des exposés Maths-Signal d’IRIMAS (pour plus de détails)
Recent works in time-frequency analysis proposed to switch the focus from the maxima of the spectrogram toward its zeros, which form a random point pattern with a very stable structure. Several signal processing tasks, such as component disentanglement and signal detection procedures, have already been renewed by using modern spatial statistics onthe pattern of zeros. Tough, they require cautious choice of both the discretization strategy and the observation window in the time-frequency plane. To overcome these limitations, we propose a generalized time-frequency representation: the Kravchuk transform, especially designed for discrete signals analysis, whose phase space is the unit sphere, particularly amenable to spatial statistics. We show that it has all desired properties for signal processing, among which covariance, invertibility and symmetry, and that the point process of the zeros of the Kravchuk transform of complex white Gaussian noise coincides with the zeros of the spherical Gaussian Analytic Function. Elaborating on this theorem, we finally develop a Monte Carlo envelope test procedure for signal detection based on the spatial statistics of the zeros of the Kravchuk spectrogram.
Outline: After, reviewing the unorthodox path focusing on the zeros of the standard spectrogram and the associated theoretical results on the distribution of zeros in the case of white noise, I will introduce the Kravchuk transform and study the random point process of its zeros from a spatial statistics perspective. Then I will present the designed Monte Carlo envelop test, and illustrate its numerical performance in adversarial settings, with both low signal-to-noise ratio and small number of samples, and compare it to state-of-the-art zeros-based detection procedures.
Les Conway-maps donnent un cadre à un certain nombre de questions de dynamique dont l’énoncé est extrêmement simple. Pourtant, ces questions restent ouvertes (et les travaux de Conway laissent même à penser qu’elles le resteront longtemps). Il s’agira d’interpréter ces questions, pourtant parfaitement déteministes, en termes probabilistes, et d’en déduire une réflexion sur l’utilisation des Conway-maps pour la conception de générateurs pseudo-aléatoires.
An important property of derivations and its multi-dimensional generalizations such as vector fields is their closure under taking linear combinations, allowing them to form a vector space. This is not true in general. The conditions under which linear combinations of multiple copies of a given operation still have the same properties of this operation is called a linear compatibility condition. In recent years, a large number of similar structures have appeared, from applications in mathematics and mathematical physics. Our goal is to obtain a general understanding.
This is based on joint work with Xing Gao and Huhu Zhang.
We give a geometric approach for boundary value problems of the Laplacian with Dirichlet (or mixed) boundary conditions on domains with singularities. In two dimensions these singularities also include cusps. Our approach is by blowing up the singularities via a conformal change to translate the boundary problem to one on a noncompact manifold with boundary that is of bounded geometry and of finite width. This gives a natural geometric interpretation in the appearing weights and additional conditions needed to obtain well-posedness results.
Les systèmes de particules sont des outils souvent utilisés pour modéliser des populations interagissant entre elles et/ou avec un environnement extérieur. Nous introduirons un modèle appelé N-BMP (N-processus de Markov branchant) dans lequel les particules ont des trajectoires indépendantes sur la droite réelle, et se séparent en deux (on parle de branchement) à des instants aléatoires successifs indépendants et distribués selon une loi exponentielle. Pour garder une population de taille constante au cours du temps, la particule la plus basse est tuée à chaque instant de branchement.
Nous étudierons la limite hydrodynamique de ce processus, c’est-à-dire le comportement du processus obtenu quand le nombre N de particules tend vers l’infini. Le cas où les particules ont des trajectoires browniennes a notamment été étudié depuis 2017, et mis en relation avec un problème à frontière libre associé à l’équation de la chaleur. Nous présenterons les résultats que nous avons obtenus, qui donnent un cadre plus général dans lequel le N-BMP a une limite hydrodynamique, en faisant intervenir une frontière analogue à celle qui apparaît dans le cas brownien.
In this survey talk based on [1] and [2], I will present the construction of non-archimedean models for T_an, exp; the elementary theory of the reals with restricted analytic functions and unrestricted exponential function. Starting with an arbitrary linearly ordered set L I will show step by step how to construct the real closed exponential logarithmic field $\mathbb{R}(( L))^{EL}$.
All notions and notations will be introduced in this talk aimed at a general audience.
References:
[1] F.-V. Kuhlmann and S.Kuhlmann, *Explicit construction of exponential- logarithmic power series*, Séminaire de Structures Algébriques Ordonnées 1995-1996, Vol. 61, 7 pp. (1997)
Equipe de Logique Mathématique, Prépublications, Université Paris VI et VII (1997)
[2] S. Kuhlmann, *Ordered Exponential Fields*, The Fields Institute Monograph Series, vol 12. Amer. Math. Soc. 2000.
Sur un corps de caractéristique positive p, les algèbres de Lie restreintes sont d’un intérêt primordial, principalement en raison de leur lien avec les groupes algébriques et de leur rôle dans la théorie des représentations et la classification. La cohomologie associée aux algèbres de Lie restreintes est considérablement plus compliquée que la cohomologie ordinaire de Chevalley-Eilenberg et des formules explicites ne sont connues que jusqu’à l’ordre 2. Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire le premier et deuxième groupes de cohomologie restreinte pour les superalgèbres de Lie restreintes en caractéristique p supérieure à 3, en modifiant une construction précédente. J’expliquerai comment ces groupes capturent certaines structures algébriques, telles que les extensions restreintes. De plus, je montrerai comment appliquer cette construction pour classifier les superalgèbres de Lie restreintes p-nilpotentes jusqu’à la dimension 4 sur un corps algébriquement clos de caractéristique p supérieure à 3. Ce travail est en collaboration avec Sofiane Bouarroudj (New York University Abu Dhabi).
Les séries de Taylor de l’exponentielle en zéro et du logarithme en 1 admettent des propriétés combinatoires telles que lorsqu’il est possible de les évaluer en des endomorphismes linéaires suffisamment petits (nilpotents, contractants . . . ), d’une algèbre A, elles induisent une correspondance bijective entre dérivations sur A et automorphismes de A. Cette correspondance est notamment bien connue en théorie des groupes de Lie.
Afin de l’étudier dans un contexte plus général et de dimension infinie, nous proposons un formalisme dans lequel des espaces vectoriels et algèbres sont équipés d’une notion axiomatique de sommabilité de familles infinies, étendant les propriétés des opérateurs de sommation de familles à support fini. L’exemple naturel d’une telle notion est la notion de sommabilité formelle dans les espaces de séries généralisées (séries de Hahn).
En utilisant la sommabilité infinie dans une telle algèbre A, nous pouvons définir l’exponentielle et le logarithme comme fonctions sur A, et réduire cette correspondance à des identités formelles universelles (déjà connues). Nous montrerons qu’une partie de la correspondance de Lie est alors satisfaite pour A.
Prenez une feuille de papier A4, puis recollez les côtés opposés. Vous y arrivez ? Même si vous n’y arrivez pas avec vos mains, la puissance de l’abstraction mathématique fait qu’on peut toujours l’imaginer et travailler avec l’objet ainsi obtenu. Ce qu’on obtient est un tore plat, et on obtiendra un autre tore plat en recollant les côtés opposés de n’importe quel parallélogramme. Cet objet apparaît un peu par-ci par-là dans toutes les mathématiques modernes. Lorsqu’on le côtoie au quotidien, l’envie de le faire vraiment en papier, en tant qu’objet tangible, devient de plus en plus forte. Dans cet exposé je présente une famille de réalisations polyédrales de tores plats, les diplotores, inventés par Ulrich Brehm. Ce sont des polyèdres qui, géométriquement sont partout plats. Avec Pierre Arnoux (Marseille) et Samuel Lelièvre (Orsay), nous avons montré que tout tore plat peut être réalisé comme diplotore.
N-graded symplectic Q-manifolds encompass a lot of well-known mathematical structures, such as Poisson manifolds, Courant algebroids, etc. Their Lagrangian Q-submanifolds are of special interest, since
they simultaniously generalize coisotropic submanifolds, Dirac-structures and also serve as boundary conditions in AKSZ sigma models. In this talk we set up their deformation theory inside a symplectic Q-manifold via strong homotopy Lie algebras, which generalizes knows results including the deformation theory of coisotropic submanifolds and Dirac structures.
This is a joint work with Miquel Cueca.
La théorie des Yangiens a été introduite par Drinfeld dans les années 80 en tant qu’approche systématique pour résoudre l’équation de Yang-Baxter. Récemment, Gautam, Toledano Laredo et Wendlandt ont présenté une alternative à la construction de la R-matrice pour le Yangien du type fini, qui s’avère être considérablement plus générale que la méthode originale de Drinfeld au niveau des représentations. Dans cette présentation, je vous offrirai un aperçu de ce résultat tout en exposant sa généralisation aux Yangiens de types affines. Ces développements sont issus d’une collaboration avec S. Gautam et C. Wendlandt.
Consulter le résumé ici
Dans cet exposé, je vais donner un aperçu des barycentres de Wasserstein. Le barycentre de Wasserstein correspond à la moyenne de Fréchet (une généralisation de la moyenne pour les espaces métriques) d’une variable aléatoire sur l’espace Wasserstein d’ordre 2. L’espace Wasserstein d’ordre 2 est l’espace de mesures de probabilités de moment d’ordre 2 fini, muni d’une métrique induite par la théorie de transport optimal. Je vais commencer par donner une petite résumé des outils de transport optimal dont nous aurons besoin. Ensuite je vais présenter quelques propriétés analytiques du barycentre de Wasserstein et expliquer les difficultés liées à l’étude de cet objet. Enfin, nous allons étudier le propriétés probabilistes dont la loi des grandes nombres et une idée heuristique de la théorème centrale limite qui peut être rendue rigoureuse en introduisant une régularisation du barycentre.
Dans cet exposé je présente de nouvelles q-déformations d’algèbres de Lie liées au groupe modulaire et aux q-rationnels de Morier-Genoud et Ovsienko. En particulier, nous analysons une déformation de l’algèbre de Lie sl2 et de l’algèbre de Witt, l’algèbre des champs de vecteurs sur le cercle. Ces déformations proviennent d’une réalisation par des opérateurs différentiels concrets et mènent à des homographies intéressantes sur le plan hyperbolique.
Due to its nice geometric properties and an astonishing number of applications, probably one of the most intensively studied metrics nowadays is the p-Wasserstein metric. Given a complete and separable metric space M and a positive real number p, one defines the p-Wasserstein space Wp(M) as the set of all Borel probability measures with a finite p-th moment, endowed with a metric which is calculated by means of transport plans.
First I will talk about Kantorovich’s transport problem. After that, I will define the so-called p-Wasserstein metric, and show some nice features of it. In the second part of the talk, I will focus on isometries. The question is how does an isometry of a p-Wasserstein space look like? One can show that if F is an isometry of M, then its push-forward F# is an isometry of Wp(M). In other words, the isometry group of M embeds into the isometry group of Wp(M). A natural question arises: is this embedding surjective? In most of the known cases, the answer is yes. However, there are examples where the Wasserstein space admits « exotic isometries ». The goal of the talk is to present these exotic isometries.
Les algèbres de Hopf de la renormalisation ont vocation à représenter le groupe de renormalisation en théorie quantique perturbative des champs, qui est un groupe de difféomorphismes formels. Ceci est possible seulement si l’algèbre de Hopf est commutative, mais en électrodynamique quantique l’algèbre de renormalisation ne l’est pas. Dans cet exposé, j’explique comment cette algèbre de Hopf non commutative peut bien représenter les difféomorphismes formels de manière standard (fonctorielle), si on renonce à l’associativité de la composition et on les considère comme un « loop » (groupe non associatif).
Dulac’s problem studies if an analytic two dimensional vector field defines a finite number of limit cycles in some neighborhood of a singular point. Y. Ilyashenko and J. Ecalle gave a positive answer to this problem in the years 1991-1992. The vector fields that are perturbations of linear centers in R^2 form a family of vector fields for which Dulac’s problem is easily solved studying analytic diffeomorphism given by the first return map.
In this work, we consider the family H_3 of perturbations of linear centers in R^3 and solve the problem of finiteness of limit cycles, related with the classical Dulac’s problem.
Real generalized analytic functions are locally defined as sums of convergent generalized power series with coefficients in the real numbers; that is, power series whose exponents belong to a product of well-ordered sets of positive real numbers. In this talk we will introduce generalized analytic manifolds and the blowing-up morphisms between them. We will see that blowing-ups may exist or not depending on the existence of an “standard analytic substructure”. We will state several results of reduction of singularities for generalized analytic functions and we will expose with details the “stratified version”. This is a work in collaboration with Jesús Palma Márquez and Fernando Sanz Sánchez.
On utilise de nouvelles approximations (rationnelles) de l’exponentielle d’une matrice et de fonctions associées (« phi functions ») pour définir des schémas numériques pour les EDO. Divers tests montrant l’efficacité de ces schémas sont présentés.
In this talk, we present a posteriori estimates for finite element approximations of nonlinear elliptic problems satisfying strong-monotonicity and Lipschitz-continuity properties. These estimates include, and build on, any iterative linearization method that satisfies a few clearly identified assumptions; this includes the Picard, Newton, and Zarantonello linearizations. The estimates give a guaranteed upper bound on an augmented energy difference reliability with constant one, as well as a lower bound efficiency up to a generic constant. We prove that for the Zarantonello linearization, this generic constant only depends on the space dimension, the mesh shape regularity, and possibly the approximation polynomial degree in four or more space dimensions, making the estimates robust with respect to the strength of the nonlinearity. For the other linearizations, there is only a local and computable dependence on the nonlinearity. Numerical experiments illustrate and validate the theoretical results, for both smooth and singular solutions.
Dans cet exposé, nous montrerons une connexion entre les structures de régularité développées pour les équations aux dérivées partielles stochastiques et les chemins rugueux géométriques. Celle-ci est réalisée en identifiant l’algèbre de Hopf de Butcher-Connes-Kreimer déformée avec un quotient de l’algèbre de Hopf de shuffle. Ce nouveau résultat algébrique s’appuie fortement sur le formalisme de déformation
et des structures post-Lie récemment introduites dans le cadre des structures de régularité.
Consulter le résumé ici.
A Lie 2-group is a groupoid on the category of Lie groups just like Lie groupoids are groupoids in the category of manifolds. To expand this logic, we get PB-groupoids as groupoids in the category of principal bundles, this is, a Lie groupoid with a free and proper action of a Lie 2-group (free and properness implies that the quotient space is still a Lie groupoid). On another context, bundles gerbes are well-studied objects, and are also described as a quotient of a Lie groupoids. In this talk we will introduce more slowly all these objects and prove that see that bundles gerbes sit inside PB-groupoids.
On considère une plaque élastique 3 dimensionnelle de petite épaisseur fixée sur un support sur son bord inférieur. La plaque va être déformée par les forces du corps (comme la gravité), ou bien parce que la loi du comportement du matériau est liée à une géométrie du domaine au repos incompatible avec la géométrie ambiante, tandis que la partie fixée sera restée sur place. On commence par une modélisation variationnelle de ce phénomène dans le cadre de l’élasticité non-linéaire 3d. Un premier problème est d’obtenir des modèles variationnels limites en comprenant comment l’hypothèse de support passe à la limite à l’épaisseur 0. On expliquera l’approche de la $\Gamma$-convergence, basée sur laquelle on s’attend à voir une hiérarchie des modèles de plaques obtenus selon les paramètres imposés. Dans un deuxième pas, dans chaque cas, le modèle de limite- pour les
déformations d’une plaque mince sujet à une contrainte de support- sera à son tour la case du départ pour un problème de support optimal.
Ce travail est une collaboration avec Antoine Lemenant.
$$ \min_{y_1,\hdots,y_N\in\mathbb{R}^N} F(y_1,\hdots,y_N) := \mathrm{W_2}\left(\frac{1}{N}\sum_{1\leq i\leq N}\delta_{y_i},\rho\right),$$
Etant donne un feuilletage sur une variete compacte, les formes basiques sont les formes differentielles qui s’expriment localement en termes des variables transverses. L’espace des formes basiques est preserve par la differentielle exterieure, ce qui permet definir la cohomologie basique. Cette cohomologie a ete etudiee dans plusieurs contextes et en particulier sur des feuilletages riemanniens. Etant donnee une metrique riemannienne, l’adjoint de la differentielle exterieure preserve le complement orthogonal des formes basiques, and la cohomologie definie a partir de cet adjoint sera appellee la »cohomologie antibasique ». Ainsi, nous etudions les proprietes de cette cohomologie et montrons un theoreme de Hodge antibasique. Aussi nous etablissons quelques relations entre la cohomologie basique, antibasique et celle de la variete ambiante.