Séminaire de Mathématiques et Colloquium

Conférences à venir :

Jeudi 8 juin 2023 à 15h30
Anita Naolekar
(ISI Bangalore India)

BV-operators and the secondary Hochschild cohomology.

It is well known that the Hochschild cohomology HH^*(A, A) of an associative algebra A with coefficients in itself is a Gerstenhaber algebra (G-algebra, in short), and it turns out to be a BV-algebra for a finite dimensional unital symmetric algebra A. The BV operator is induced by dualizing the Connes’ map in the Hochschild complex. Mihai D. Staic in 2014 introduced a new Hochschild cohomology theory, called secondary Hochschild cohomology of the triple (A, B, \epsilon), where A is an algebra, B is a commutative algebra and \epsilon is an algebra map from B to A such that image of \epsilon is contained in the centre of A. This cohomology also turns out to be G-algebra. In this talk, we highlight that the dualizing of Connes’ map in this context does not yield a BV-operator in the case of a finite dimensional unital symmetric algebra A. We introduce the notion of a BV-operator on the homotopy G-algebra level such that the Gerstenhaber bracket on cohomology is determined by the BV-operator in a manner similar to the BV-formalism. As an application, we produce a BV-operator on the cochain complex defining the secondary Hochschild cohomology of a symmetric algebra A over a commutative algebra B.
 
This is a joint work with Abhishek Banerjee and Mamta Balodi.

Prochains exposés

 It is well known that the Hochschild cohomology HH^*(A, A) of an associative algebra A with coefficients in itself is a Gerstenhaber algebra (G-algebra, in short), and it turns out to be a BV-algebra for a finite dimensional unital symmetric algebra A. The BV operator is induced by dualizing the Connes’ map in the Hochschild complex. Mihai D. Staic in 2014 introduced a new Hochschild cohomology theory, called secondary Hochschild cohomology of the triple (A, B, \epsilon), where A is an algebra, B is a commutative algebra and \epsilon is an algebra map from B to A such that image of \epsilon is contained in the centre of A. This cohomology also turns out to be G-algebra. In this talk, we highlight that the dualizing of Connes’ map in this context does not yield a BV-operator in the case of a finite dimensional unital symmetric algebra A. We introduce the notion of a BV-operator on the homotopy G-algebra level such that the Gerstenhaber bracket on cohomology is determined by the BV-operator in a manner similar to the BV-formalism. As an application, we produce a BV-operator on the cochain complex defining the secondary Hochschild cohomology of a symmetric algebra A over a commutative algebra B.
 
This is a joint work with Abhishek Banerjee and Mamta Balodi.

On utilise de nouvelles approximations (rationnelles) de l’exponentielle d’une matrice et de fonctions associées (« phi functions ») pour définir des schémas numériques pour les EDO. Divers tests montrant l’efficacité de ces schémas sont présentés.

Conférences passées :

In this talk, we present a posteriori estimates for finite element approximations of nonlinear elliptic problems satisfying strong-monotonicity and Lipschitz-continuity properties. These estimates include, and build on, any iterative linearization method that satisfies a few clearly identified assumptions; this includes the Picard, Newton, and Zarantonello linearizations. The estimates give a guaranteed upper bound on an augmented energy difference reliability with constant one, as well as a lower bound efficiency up to a generic constant. We prove that for the Zarantonello linearization, this generic constant only depends on the space dimension, the mesh shape regularity, and possibly the approximation polynomial degree in four or more space dimensions, making the estimates robust with respect to the strength of the nonlinearity. For the other linearizations, there is only a local and computable dependence on the nonlinearity. Numerical experiments illustrate and validate the theoretical results, for both smooth and singular solutions.

Dans cet exposé, nous montrerons une connexion entre les structures de régularité développées pour les équations aux dérivées partielles stochastiques et les chemins rugueux géométriques. Celle-ci est réalisée en identifiant l’algèbre de Hopf de Butcher-Connes-Kreimer déformée avec un quotient de l’algèbre de Hopf de shuffle. Ce nouveau résultat algébrique s’appuie fortement sur le formalisme de déformation
et des structures post-Lie récemment introduites dans le cadre des structures de régularité.

Consulter le résumé ici.

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A Lie 2-group is a groupoid on the category of Lie groups just like Lie groupoids are groupoids in the category of manifolds. To expand this logic, we get PB-groupoids as groupoids in the category of principal bundles, this is, a Lie groupoid with a free and proper action of a Lie 2-group (free and properness implies that the quotient space is still a Lie groupoid). On another context, bundles gerbes are well-studied objects, and are also described as a quotient of a Lie groupoids. In this talk we will introduce more slowly all these objects and prove that see that bundles gerbes sit inside PB-groupoids.

On considère une plaque élastique 3 dimensionnelle de petite épaisseur fixée sur un support sur son bord inférieur. La plaque va être déformée par les forces du corps (comme la gravité), ou bien parce que la loi du comportement du matériau est liée à une géométrie du domaine au repos incompatible avec la géométrie ambiante, tandis que la partie fixée sera restée sur place. On commence par une modélisation variationnelle de ce phénomène dans le cadre de l’élasticité non-linéaire 3d. Un premier problème est d’obtenir des modèles variationnels limites en comprenant comment l’hypothèse de support passe à la limite à l’épaisseur 0. On expliquera l’approche de la $\Gamma$-convergence, basée sur laquelle on s’attend à voir une hiérarchie des modèles de plaques obtenus selon les paramètres imposés. Dans un deuxième pas, dans chaque cas, le modèle de limite- pour les
déformations d’une plaque mince sujet à une contrainte de support- sera à son tour la case du départ pour un problème de support optimal.
Ce travail est une collaboration avec Antoine Lemenant.

En apprentissage automatique et en problèmes inverses, il est parfois nécessaire de générer ou de déformer un nuage de points de sorte à approcher une mesure de probabilité modèle $\rho$. Une manière naturelle d’y parvenir est de chercher à minimiser la distance de Wasserstein de la mesure uniforme sur le nuage de points par rapport à la distribution modèle.

$$ \min_{y_1,\hdots,y_N\in\mathbb{R}^N} F(y_1,\hdots,y_N) := \mathrm{W_2}\left(\frac{1}{N}\sum_{1\leq i\leq N}\delta_{y_i},\rho\right),$$
Ce problème de minimisation est une variante du problème bien connu de la quantization optimal (cf Fejes-Toth, Gruber, Graf-Luschgy, Pagès, etc.), très étudié pour ses applications en statistiques, approximation, maillage, etc. La fonctionnelle minimisée n’est pas convexe et admet des points critiques dont l’énergie est beaucoup plus grande que celle du minimiseur. Pourtant, très souvent, les méthodes de descente de gradient mènent à des configurations présentant une énergie faible. Nous expliquons quantitativement ce comportement, en montrant en particulier que si les points initiaux ne sont pas trop proches les uns des autres, alors une seule étape de l’algorithme de Lloyd est suffisante pour obtenir une bonne approximation de la mesure approchée (collaboration avec Filippo Santambrogio et Clément Sarrazin). Je parlerai également d’un résultat plus récent, qualitatif, montrant en dimension $d=2$ que l’énergie de quantification des points critiques stables de l’énergie est en réalité commensurable à l’énergie du minimiseur (collaboration avec Alessio Figalli et Filippo Santambrogio).

Etant donne un feuilletage sur une variete compacte, les formes basiques sont les formes differentielles qui s’expriment localement en termes des variables transverses. L’espace des formes basiques est preserve par la differentielle exterieure, ce qui permet definir la cohomologie basique. Cette cohomologie a ete etudiee dans plusieurs contextes et en particulier sur des feuilletages riemanniens. Etant donnee une metrique riemannienne, l’adjoint de la differentielle exterieure preserve le complement orthogonal des formes basiques, and la cohomologie definie a partir de cet adjoint sera appellee la  »cohomologie antibasique ». Ainsi, nous etudions les proprietes de cette cohomologie et montrons un theoreme de Hodge antibasique. Aussi nous etablissons quelques relations entre la cohomologie basique, antibasique et celle de la variete ambiante.

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